Calculando probabilidades con simulación 1

Probabilidad por simulación

David J. Santana

15 de octubre de 2017

Probabilidades usando simulación estocástica.

Supóngase una sucesión de lanzamientos de dos dados. En cada lanzamiento se suma el resultado de los dos dados y este valor es anotado en una hoja.

¿Cuál es la probabilidad de obtener dos 7 (no necesariamente consecutivos) antes de obtener seis números pares (no necesariamente consecutivos) en la suceción de lanzamientos descrita?

La solución se obtiene como sigue:

Sean

\(A=\) la suma de los dos dados es 7.

\(B=\) la suma de los dos dados es un número par.

Notar que

\(A\cup B=\) la suma de los dos dados es, o bien 7, o bien un número par.

Entonces: \[\begin{equation} P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = \frac{6}{36} + \frac{18}{36} - 0 = \frac{2}{3}. \end{equation}\] Cuando se da cualquiera de los eventos \(A\) o \(B\), la probabilidad de obtener un siete es: \[\begin{equation} P(A\mid A\cup B)=\frac{P(A\cap(A\cup B))}{P(A\cup B)}=\frac{P(A)}{P(A\cup B)}=\frac{1/6}{2/3}=\frac{1}{4}. \end{equation}\] Luego, como nos interesa obtener dos sietes antes de obtener 6 números pares, discriminamos los lanzamientos donde no se cumplen ni \(A\) ni \(B\), y suponemos una sucesión de experimentos donde solo se da \(A^*\) (éxito) con probabilidad 1/4 y se da \(B^*\) (fracaso) con probabilidad 3/4. Entonces nos interesa la probabilidad de obtener 2 éxitos antes de 6 fracasos. Observar la equivalencia de obtener «2 éxitos antes de 6 fracasos» y «al menos dos éxitos en los primeros 7 intentos». Esto implica que: \[\begin{equation} P(\mbox{ Al menos dos éxitos en los primeros 7 intentos })= 1 - P(\mbox{ningún éxito o un éxito en los primeros 7 intentos }). \end{equation}\] Como \[\begin{equation} P(\mbox{ningún éxito en los primeros 7 intentos }) = \left(\frac{3}{4}\right)^7, \end{equation}\] y \[\begin{equation} P(\mbox{un éxito en los primeros 7 intentos }) = 7\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^6, \end{equation}\] por lo tanto: \[\begin{equation} 1 - P(\mbox{ningún éxito o un éxito en los primeros 7 intentos }) = 1-(3/4)^7-7(1/4)(3/4)^6 = 0.5550537. \end{equation}\]

Ahora, resolvemos el mismo problema haciendo simulaciones del experimento:

m <- 10000
X <- numeric(m)
i <- 0
set.seed(123)
repeat{
        i <- i + 1
        exitos <- 0
        pares <- 0
        while(exitos < 2 && pares < 6){
                dados <- sample(1:6,2,replace = T)
                resultado <- sum(dados)
                if(resultado == 7){
                        exitos <- exitos + 1
                }else{
                        pares <- pares + 1*(resultado/2 == floor(resultado/2))
                }
        }
        if(exitos == 2){X[i] <- 1}else{X[i] <- 0}
        if(i == m){break}
}
#X
mean(X) #Solución por simulación (vía la ley de los grandes números)

## [1] 0.5554

# Solución teórica:
1-(3/4)^7-7*(1/4)*(3/4)^6

## [1] 0.5550537

# Otra manera (usando una distribución binomial):
1-pbinom(1,7,1/4)

## [1] 0.5550537